Question 1: A = [1 -2 -1; -3 -1 -1; -1 1 0; 1 0 0]; b = [0; -4; -2; 1]; p = [0 0 -1]; T = totbl(A,b,p); x1 x2 x3 1 -------------------------------------------- x4 = | 1.0000 -2.0000 -1.0000 -0.0000 x5 = | -3.0000 -1.0000 -1.0000 4.0000 x6 = | -1.0000 1.0000 0.0000 2.0000 x7 = | 1.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 -------------------------------------------- z = | 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 T = relabel(T,'x3','y'); x1 x2 y 1 -------------------------------------------- x4 = | 1.0000 -2.0000 -1.0000 -0.0000 x5 = | -3.0000 -1.0000 -1.0000 4.0000 x6 = | -1.0000 1.0000 0.0000 2.0000 x7 = | 1.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 -------------------------------------------- z = | 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 T = ljx(T,1,1); x4 x2 y 1 -------------------------------------------- x1 = | 1.0000 2.0000 1.0000 0.0000 x5 = | -3.0000 -7.0000 -4.0000 4.0000 x6 = | -1.0000 -1.0000 -1.0000 2.0000 x7 = | 1.0000 2.0000 1.0000 -1.0000 -------------------------------------------- z = | 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 T = ljx(T,4,3); x4 x2 x7 1 -------------------------------------------- x1 = | 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 x5 = | 1.0000 1.0000 -4.0000 0.0000 x6 = | 0.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 y = | -1.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 -------------------------------------------- z = | 1.0000 2.0000 -1.0000 -1.0000 T = ljx(T,3,2); x4 x6 x7 1 -------------------------------------------- x1 = | 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 x5 = | 1.0000 1.0000 -3.0000 -1.0000 x2 = | -0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 y = | -1.0000 -2.0000 -1.0000 3.0000 -------------------------------------------- z = | 1.0000 2.0000 1.0000 -3.0000 T = permrows(T,[2 5 1 3 4]); x4 x6 x7 1 -------------------------------------------- x5 = | 1.0000 1.0000 -3.0000 -1.0000 -------------------------------------------- z = | 1.0000 2.0000 1.0000 -3.0000 x1 = | 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 x2 = | -0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 y = | -1.0000 -2.0000 -1.0000 3.0000 T = ljx(T,1,1); x5 x6 x7 1 -------------------------------------------- x4 = | 1.0000 -1.0000 3.0000 1.0000 -------------------------------------------- z = | 1.0000 1.0000 4.0000 -2.0000 x1 = | 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 x2 = | -0.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 y = | -1.0000 -1.0000 -4.0000 2.0000 x1 = 1, x2 = -1, obj = 2 Solution is unique since x5 = x6 =x7 = 0 due to reduced costs, and thus no possible changes to x. Question 2: A = [1 -1; -1 0]; b = [7; -5]; p = [3; -2]; h = [1; 1]; T=totbl(A,b,p); T = relabel(T,'x2','y2'); x1 y2 1 --------------------------------- x3 = | 1.0000 -1.0000 -7.0000 x4 = | -1.0000 0.0000 5.0000 --------------------------------- z = | 3.0000 -2.0000 0.0000 T = addcol(T,[-h; 0],'t',4); x1 y2 1 t -------------------------------------------- x3 = | 1.0000 -1.0000 -7.0000 -1.0000 x4 = | -1.0000 0.0000 5.0000 -1.0000 -------------------------------------------- z = | 3.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 T = ljx(T,1,2); x1 x3 1 t -------------------------------------------- y2 = | 1.0000 -1.0000 -7.0000 -1.0000 x4 = | -1.0000 -0.0000 5.0000 -1.0000 -------------------------------------------- z = | 1.0000 2.0000 14.0000 2.0000 -inf < t <= -7; z(t) = 14 + 2t (a) (Note z(t) finite at e.g. t = -7) T = ljx(T,1,1); y2 x3 1 t -------------------------------------------- x1 = | 1.0000 1.0000 7.0000 1.0000 x4 = | -1.0000 -1.0000 -2.0000 -2.0000 -------------------------------------------- z = | 1.0000 3.0000 21.0000 3.0000 -7 <= t <= -1; z(t) = 21 + 3t -1 < t ; z(t) = +inf (c) z(t) is piecewise linear convex. Question 3: Covered in class Question 4: Q = [1 -2; -2 4]; p = [0; 4]; A = [-1 -2; 2 -1]; b = [-3; 4]; M = [Q -A; A zeros(2,2)]; q = [p; -b]; T = lemketbl(M,q); z1 z2 z3 z4 1 ------------------------------------------------------- w1 = | 1.0000 -2.0000 1.0000 2.0000 0.0000 w2 = | -2.0000 4.0000 -2.0000 1.0000 4.0000 w3 = | -1.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 3.0000 w4 = | 2.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 -4.0000 T = addcol(T,ones(4,1),'z0',5); z1 z2 z3 z4 z0 1 ------------------------------------------------------------------ w1 = | 1.0000 -2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.0000 w2 = | -2.0000 4.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 4.0000 w3 = | -1.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 1.0000 3.0000 w4 = | 2.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 -4.0000 T = ljx(T,4,5); z1 z2 z3 z4 w4 1 ------------------------------------------------------------------ w1 = | -1.0000 -1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 4.0000 w2 = | -4.0000 5.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 8.0000 w3 = | -3.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 7.0000 z0 = | -2.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 4.0000 M = [Q -A'; A zeros(2,2)]; q = [p; -b]; T = lemketbl(M,q); z1 z2 z3 z4 1 ------------------------------------------------------- w1 = | 1.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000 0.0000 w2 = | -2.0000 4.0000 2.0000 1.0000 4.0000 w3 = | -1.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 3.0000 w4 = | 2.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 -4.0000 T = addcol(T,ones(4,1),'z0',5); z1 z2 z3 z4 z0 1 ------------------------------------------------------------------ w1 = | 1.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000 1.0000 0.0000 w2 = | -2.0000 4.0000 2.0000 1.0000 1.0000 4.0000 w3 = | -1.0000 -2.0000 0.0000 0.0000 1.0000 3.0000 w4 = | 2.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 -4.0000 T = ljx(T,4,5); z1 z2 z3 z4 w4 1 ------------------------------------------------------------------ w1 = | -1.0000 -1.0000 1.0000 -2.0000 1.0000 4.0000 w2 = | -4.0000 5.0000 2.0000 1.0000 1.0000 8.0000 w3 = | -3.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 7.0000 z0 = | -2.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 4.0000 T = ljx(T,1,4); z1 z2 z3 w1 w4 1 ------------------------------------------------------------------ z4 = | -0.5000 -0.5000 0.5000 -0.5000 0.5000 2.0000 w2 = | -4.5000 4.5000 2.5000 -0.5000 1.5000 10.0000 w3 = | -3.0000 -1.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 7.0000 z0 = | -2.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 4.0000 T = ljx(T,4,1); z0 z2 z3 w1 w4 1 ------------------------------------------------------------------ z4 = | 0.2500 -0.7500 0.5000 -0.5000 0.2500 1.0000 w2 = | 2.2500 2.2500 2.5000 -0.5000 -0.7500 1.0000 w3 = | 1.5000 -2.5000 0.0000 -0.0000 -0.5000 1.0000 z1 = | -0.5000 0.5000 -0.0000 0.0000 0.5000 2.0000 % x1 = z1 = 2; x2 = z2 = 0; obj = 2 (a) sat as an equality in above soln, so no change (b) KKT conditions still satisfied (only coeff changes is mult by x2 = 0) Hence still a solution. (c) Solution is unique since Q is positive definite (see Thm in notes regarding Q pd and unique soln of QP).